Sonsuzluk: Bitmeyen Bir Yolculuk

Prof. Dr. Erhan PİŞKİN
(Matematikçi, Avukat, Arabulucu)

Sonsuzluk kavramı gündelik dilde ve matematikte kullanılan bir kavramdır. Gündelik hayatta genellikle "sonsuz bir gökyüzü"nden bahsederiz veya çocuklara "hayallerinin sınırı yok, sonsuzdur" deriz. Buradaki "sonsuz", ucu bucağı görünmeyen bir genişliği anlatır. Günlük konuşmalarımızda bu sözcüğü daha çok hayranlık uyandıran bir sürekliliği anlatmak için kullanırız. Ancak matematikte bu kavram, duygusal bir ifade değil, düşünsel bir araçtır. Matematikte “sonsuz” demek, bitmeyen bir süreci tanımlamak demektir. Örneğin; Doğal sayılar kümesi sonsuz elemanlıdır. Çünkü saymaya başlasak bile hiçbir zaman bitiremeyiz: 1, 2, 3, 4, 5, … Küçük bir çocuk bile saymaya başladığında sayıların sonunun olmadığını gözlemleyebilir. Fakat, sonsuzluğu anlamak kolay değildir. Bunun en önemli sebebi gördüğümüz her şeyin sonlu olmasıdır. Çünkü; ömrümüz sonludur, dünyadaki tüm atomlar sonludur, kâinat sonludur.

İnsan zihni, sonlu bir dünyada yaşadığı için sonsuzu doğrudan kavramakta zorlanır. Ancak ilginç olan şudur: Sınırlı bir bedene ve sayılı dakikalara sahip olan insan, nasıl olur da “hiç bitmesin” dediği ebedi bir varoluş veya sonsuz bir genişlik arzusuna sahip olabilir? Belki de bu, sınırlı bir kapta (bedende) sınırsız bir ummanın (ruh) saklı olduğunu; yani insanın aslında bu dünyayı aşan sonsuz bir kaynağın yeryüzündeki küçük bir aynası olduğunu gösterir. Sonsuzluğu çoğu zaman bir “büyüklük” gibi düşünürüz; oysa matematikte sonsuzluk bir büyüklükten ziyade bir süreçtir.

Birçok kişi “sonsuz”u bir yer gibi düşünür: “çok uzakta bir yerde.” Aslında sonsuz, bir sıfattır, yani bir özelliktir. Nasıl “uzun ağaç” veya “sarı araba” diyorsak, “sonsuz küme” de bir kümenin özelliğini anlatır. Yani “sonsuz” bir varlık değil, bir niteliği belirtir.

Sonsuzlukların Karşılaştırılması

Matematikte sonsuz kümeyi anlamak için sonlu kümeye ihtiyacımız vardır. Bir kümenin elemanlarını sayarak bitirebiliyorsak, o küme sonludur. Örneğin;

A=1,2,3,…,40

kümesi sonludur ve eleman sayısı 40 ‘tır. Ama bazı kümelerin elemanlarını saymakla bitiremeyiz:

N=1,2,3,…

bu küme hiç bitmez. İşte bu yüzden buna sonsuz küme deriz.

Ancak tüm sonsuzluklar aynı değildir. Örneğin; doğal sayılar kümesi sonsuzdur, doğal sayılar kümesinin eleman sayısı ℵ0 (aleph-0) ile gösterilir. 0 ile 1 arasındaki reel sayılar kümesi de sonsuzdur, buradaki eleman sayısı ise c (continuum) ile gösterilir. Ayrıca ℵ0<c dir.

ℵ0 , sayılabilir sonsuzluğu; c ise sayılamayan sonsuzluğu temsil eder. Yani her iki küme de sonsuzdur, fakat “büyüklükleri” aynı değildir.

İlginç olan şudur ki; 0 ile 1 arasındaki sayıların sonsuzluğu, tüm doğal sayıların sonsuzluğundan daha büyüktür. Bu, okyanustaki su damlalarını saymakla, okyanusun kendisini kıyaslamak gibidir. Yani bu iki sonsuzluk aynı büyüklükte değildir. Dolayısıyla bazı sonsuzluklar, diğerlerinden daha “büyük” olabilir. Bu düşünceyi 19. yüzyılda Alman matematikçi Georg Cantor geliştirmiştir. Cantor’un bu fikri, matematikte “sonsuzlukların karşılaştırılması” olarak bilinir ve modern matematiğin en çarpıcı sonuçlarından biridir.

Şimdi durup şunu düşünelim: 1 ile 2 arasında mı daha çok sayı vardır, yoksa 1 ile 100 arasında mı? Sezgimiz ikinci aralığı söyler. Oysa matematik, bu iki aralıkta da aynı sayıda sayı olduğunu söyler. Sonsuzluk, sezgilerimizi sık sık yanıltır.

Bu yanılma, insan aklının kusuru değil; onun sınırlı yapısının doğal bir sonucudur. Sınırlı olan, sınırsızı ancak dolaylı yollardan kavrayabilir.

Sezgileri Zorlayan Bir Paradoks: Hilbert’in Sonsuz Oteli

Sonsuzluğun sadece bir süreç olduğunu anlamak için David Hilbert’in hayali oteline konuk olalım. Bu otelin sonsuz sayıda odası var ve hepsi tamamen dolu. Kapıya yeni bir müşteri geldiğinde, resepsiyonist "yerimiz yok" demez. Bunun yerine tüm müşterilere bir anons yapar: "Lütfen oda numaranızı bir artırın (n+1)."

Böylece 1 numaralı oda boşalır ve yeni müşteri yerleşir. Hatta sonsuz sayıda yeni müşteri gelse bile, herkesi kendi oda numarasının iki katına göndererek (2n) sonsuz sayıda tek numaralı odayı boşaltabiliriz! Bu paradoks, sonsuzluğun sonlu bir sayı gibi davranmadığını eğlenceli şekilde kanıtlar.

David Hilbert’in hayali otelinde, dolu olan odalara rağmen sonsuz sayıda yeni müşteri yerleştirilebilir. Bu paradoks, sonsuzluğun bizim bildiğimiz madde kurallarına tabi olmadığını gösterir. Bu durum akla cennet hayatını getirir; zira hadislerde ve ayetlerde tasvir edilen cennet, ne kadar çok misafir ağırlarsa ağırlasın daralmayan, her an genişleyen ve herkese yer olan bir ebediyet yurdudur. Sonsuz Otel paradoksu, fiziksel sınırlara takılan aklımıza, fizikötesi bir genişliğin mantıksal olarak mümkün olduğunu fısıldar.

Sonsuzluk Sembolü ve Tarihi

Sonsuzluk sembolünü (∞ ) ilk kez Cambridge Üniversitesi'nde matematik profesörü olan John Wallis (1616–1703) 1655’te yayımladığı “De Sectionibus Conicis” adlı eserinde tanıttı. Wallis, bu sembolü çizerken elini hiç kaldırmadan devam edebileceğimizi fark etmiştir. Bu sembolün bir diğer adı Latince "kurdele" anlamına gelen "Lemniskat"tır. Bu nedenle ∞ , bitmeyen bir döngüyü temsil eder. Bazıları sembolün “yatay sekiz” şekline benzemesinden dolayı, “devamlılık” anlamını çağrıştırdığını söyler. Öğrenciler arasında sonsuzluk sembolünün bir ismi de ölü sekizdir. Ölüm ise ebediyeti, sonsuz bir ahiret hayatını ifade etmesi açısından güzel bir benzetmedir.

Potansiyel ve Gerçek Sonsuzluk

Aslında çok daha önce, Antik Yunan filozoflarından Aristoteles de “sonsuzluk” üzerine düşünmüştü. O, iki farklı türden bahseder: “potansiyel sonsuzluk” (hep artan ama hiç bitmeyen süreç) ve “gerçek sonsuzluk” (tamamlanmış bir sonsuzluk). Günümüzde matematikte kullandığımız sonsuzluk kavramı, bu fikirlerin gelişmiş bir halidir.

Örneğin doğal sayıları saymak potansiyel sonsuzluğa bir örnektir; her zaman bir sonraki sayı vardır ama süreç hiçbir zaman tamamlanmaz. Matematikte bazı kümeler ise “tamamlanmış” bir bütün olarak ele alınır ve bu durum gerçek sonsuzluk fikrine karşılık gelir.

Sonsuzluk Bir Sayı Değildir

Matematikte sonsuzluk bir sayı değil, bir kavramdır. Sonsuzluk kavramını belki çok çok büyük ve artmaya devam eden şeklinde düşünebiliriz. Yani “sonsuz artı 1 kaç eder?” gibi sorulara gerçek bir sayı cevabı veremeyiz. Ama bazı sembolik anlatımlar kullanırız:

• ∞+1=∞

yazımı sonsuz artı 1 sonsuzdur demek değildir. Devamlı artan bir değişkene 1 eklersek, elde ettiğimiz değişken de devamlı artar demektir.

• ∞-1=∞

yazımı devamlı artan bir değişkenden 1 çıkarırsak, elde ettiğimiz değişken de devamlı artmaya devam edecektir.

• ∞+∞=∞

yazımı devamlı artan bir değişkene devamlı artan bir değişken eklersek, elde ettiğimiz değişken de devamlı artmaya devam edecektir.

Bu eşitlikler gerçek matematiksel işlemler değildir; yalnızca sonsuzluğun sezgisel olarak anlaşılmasına yardımcı olan ifadelerdir.

Bu matematiksel gerçek, varlığı hiçbir şekilde eksilmeyen ve kendisi dışında her şeyin ona muhtaç olduğu mutlak bir kudret fikrini hatırlatır.”

Sonuç

Sonsuzluk, bitmeyeni anlatır. Matematikte sonsuzluk, düşünmemizi zorlayan ama aynı zamanda onu derinleştiren kavramlardan biridir. Nasıl ki bir bardağa deniz sığmazsa, sınırlı olan insan aklı da sonsuzluğu bütünüyle kavrayamaz.

Ancak bardağa sığmayan o deniz, bize dışarıda devasa bir okyanusun var olduğunu haber verir.

Matematik bize bu okyanusun düzenini ve ölçüsünü gösterirken, insanın vicdanı bu düzenin arkasındaki sınırsız kudreti sezer. İnsan sonsuz değildir; ömrü, gücü ve bilgisi sınırlıdır. Buna rağmen sonsuzu isteyen bir kalbe sahiptir.

Bu istek, insanın yokluk için değil; devamlılık için yaratıldığını fısıldar. Sonlu bir hayat, sonsuz bir anlamla tamamlanır. Ölüm bir son değil; insanın başladığı yolculuğun başka bir safhasıdır.